Vztah mezi obvodovou a vnitřní prací stupně lopatkového stroje

Škorpík, Jiří

● 14. Vztah mezi obvodovou a vnitřní prací stupně lopatkového stroje ●

Úvod

Tento článek navazuje na článek 12. Základní rovnice lopatkových strojů a Energetické bilance lopatkových strojů, ve kterých jsou definovány veličiny obvodová práce stupně l_u a měrná vnitřní práce stupně lopatkového stroje a_i.

Měrná vnitřní práce stupně odpovídá práci pracovní tekutiny ve stupni a počítá se z rozdílu celkových stavů mezi vstupem a výstupem ze stupně. Obvodová práce stupně je práce pracovní tekutiny přenesená na rotor stroje ve formě kroutícího momentu vypočítána z rychlostních trojúhelníku.

Ventilační ztráta

U reálných strojů ovlivňuje obvododovou práci i tření rotoru o pracovní tekutinu tzv. ventilační ztráta stupně:

1.318 Rozdíl mezi obvodovou prací a vnitřní prací stupně

HST objem stupně; r [m] poloměr; l_u [J·kg^-1] měrná obvodová práce stupně na poloměru r⁽¹⁾; c [m·s^-1] absolutní rychlost; w [m·s^-1] relativní rychlost; u [m·s^-1] obvodová rychlost; a_r [J·kg^-1] ventilační ztráta stupně⁽²⁾; l_E [J·kg^-1] měrná obvodová práce pracovní tekutiny vykonaná při průtoku kanály rotoru bez ventilační ztráty; a_i [J·kg^-1] měrná vnitřní práce stupně; A, B oblasti vzniku ventilační ztráty třením rotoru o pracovní tekutinu. S statorová řada lopatek; R rotorová řada lopatek.

⁽¹⁾Poznámka: Obvodová práce se může po výšce lopatky měnit. V místech, kde vzniká příčný gradient tlaku se mění po výšce lopatky i tlak.

⁽²⁾Ventilační ztráta stupně: Velikost třecích sil závisí na konstrukci stupně, největší je u stupňů s diskovými rotorem jako je například případ jednostupňové Lavalovy turbíny nebo radiálních stupňů, u bubnových rotorů je toto tření obvykle nevýznamné.

Ventilační ztráta stupně je spotřebováná práce na překonání tření, tato práce se transformuje na teplo, které ohřívá tekutinu v okolí a části stroje:

● 1 ●

● 14. Vztah mezi obvodovou a vnitřní prací stupně lopatkového stroje ●

2.934 Rozdělení tepelného toku z ventilační ztráty

δ [-] součinitel rozdělení tepelného toku z ventilační ztráty rotoru; δ·a_r [J·kg^-1] část tepla vzniklé ventilací odvedené do stěn stroje (teplo sdílené s okolím); (1-δ)a_r [J·kg^-1] část tepla vzniklé ventilací odvedené do pracovní tekutiny.

Z rozboru rovnic pro měrnou vnitřní práci lopatkového stroje je očividné, že teplo δ·a_r zvyšuje teplo odvedené do okolí a teplo (1-δ)a_r zvyšuje vnitřní tepelnou energii na výstupu ze stupně u_e, respektive entalpii i_e. To se přímo projeví na poklesu měrné vnitřní práce stejně jako na poklesu měrné obvodové práce, takže lze prozatím psát l_u=a_i.

Závěr předchozího odstavce byl formulován na základě předpokladu, že veškerá pracovní tekutina protéká lopatkovými mřížemi a jediné ztráty, které vznikají jsou profilové ztráty a ventilační ztráty, jedná se tedy o stavy pracovní tekutiny v jádru proudu stupněm. Ale stupeň lopatkového stroje je strojírenský produkt, který není dokonalý a ve stupních lopatkových strojů vznikají i další ztráty (tzv. ostatní ztráty stupně⁽³⁾) například únik pracovní tekutiny přes okraje lopatek mimo lopatkový kanál apod:

3.1089 Příklad proudění netěstnostmi stupně turbíny

⁽³⁾Poznámka
Ostatní ztráty závisí na typu konstrukce stupně a kvalitě jejího provedení (v jednom stupni může být i několik typů ostatních ztrát). Více v článku Ztráty v lopatkových strojích.

Ve výpočtářské praxi se pod pojmem obvodová práce l_u rozumí vnitřní práce stupně bez započítání vlivu ostatních ztrát (tedy dokonale těsného stupně a bez ztrát vznikající u pat a špic lopatek, také lze mluvit o stupni s nekonečně dlouhými lopatkami). Vnitřní měrná práce stupně a_i je pak skutečná měrná práce stupně se započítáním všech ztrát (l_u>a_i).

i-s diagram stupně s přihlédnutím k ventilační ztrátě

Pro případ turbínových stupňů lze sestrojit i-s diagram stupně se započítáním sdíleného tepla z ventilačních ztrát za pomocí kapitol Adiabatická expanze v tepelné turbíně, Polytropická expanze v tepelné turbíně:

● 2 ●

● 14. Vztah mezi obvodovou a vnitřní prací stupně lopatkového stroje ●

4.936 i-s diagram stupně tepelné turbíny s přihlédnutím k ventilační ztrátě

Na obrázku jsou znázorněné případy expanze v přetlakovém axiálním stupni na vyšetřovaném poloměru r. (a) případ a_r<<l_E – zanedbatelný vliv ventilačních ztrát⁽⁴⁾; (b) případ a_r>0. i [J·kg^-1] měrná entalpie; s [J·kg^-1·K^-1] měrná entropie; p [Pa] tlak; z_p [J·kg^-1] měrná profilová ztráta mříží (tření pracovní tekutiny o povrch lopatek); q [J·kg^-1] měrné teplo pracovního plynu sdílené s okolím. Index iz označuje stav pracovní tekutiny na výstupu z mříže v případě izoentropického proudění mříží, index c označuje celkový stav.

⁽⁴⁾Poznámka
Zakreslení kinetických energií relativních rychlostí do i-s diagramu lze na základě rozboru rovnice obvodové práce, ze které je zřejmé, že součet obvodové práce l_E a kinetické energie na výstupu ze stupně se musí rovnat součtu kinetické energie na vstupu do stupně a rozdílu kinetických energií relativních rychlostí.

Pro případ stupňů pracovních strojů lze sestrojit i-s diagram stupně za pomocí kapitol Adiabatická komprese v kompresoru, Polytropická komprese v kompresoru:

5.719 i-s diagram stupně kompresoru na poloměru r

● 3 ●

● 14. Vztah mezi obvodovou a vnitřní prací stupně lopatkového stroje ●

Celková energetická bilance stupně

Celková energetická bilance stupně zahrnuje veškeré ztráty stupně a i-s diagram zobrazuje stav a práci pracovní tekutiny jako by se na konci stupně dokonale promíchala:

6.319 Měrná vnitřní práce stupně na vyšetřovaném poloměru r

z_st [J·kg^-1] celkové ztráty stupně. Kvůli ostatním ztrátám stupně je entalpie na konci stupně rovna stavu 2 a nikoliv 2'.

Jestliže jsou ostatní ztráty významné již za první lopatkovou řadou stupně, je nutné s nimi počítat i v i-s diagramu lopatkových mříží:

7.947 Vliv ostatních ztrát na obvodovou práci stupně

z_ns [J·kg^-1] měrná ztráta netěsností na statoru. Jedná se o případ na Obrázku 5 (a_r≈0 J·kg^-1), kdy hlavní proud je ovlivněn netěsnostmi statorové řady lopatek. Pracovní tekutina z ucpávek zvýší entalpii na vstupu do rotorové řady lopatek.

i-s diagram proudění v lopatkové mříži stupně záleží na konstrukci stupně. i-s diagramy axiálních a diagonálních stupňů jsou uvedeny v článcích Návrh axiálních stupňů lopatkových strojů, 20. Návrh radiálních a diagonálních stupňů lopatkových strojů.

U lopatkových strojů bez skříně se do ztrát stupně zahrnují ztráty, které vznikají uvnitř objemu pracovní tekutiny, který je vymezen proudovou trubicí rotoru.

● 4 ●

● 14. Vztah mezi obvodovou a vnitřní prací stupně lopatkového stroje ●

Účinnosti stupně

Podobně jako se rozlišují dvě práce stupně jsou definovány i dvě základní účinnosti stupně:

8.876 Obvodová a vnitřní účinnost turbínového stupně

η_E [-] obvodová účinnost stupně bez ostatních ztrát stupně; e₀ [J·kg^-1] měrná energie tekutiny přivedená do stupně; (a) [J·kg^-1] část měrné kinetické energie vstupující pracovní látky, která je ve stupni využita⁽⁵⁾; (b) [J·kg^-1] část měrné kinetické energie odpovídající výstupní rychlosti, která je využita v následujícím stupni⁽⁶⁾; η_st [-] vnitřní (termodynamická) účinnost stupně. Přibližně platí c_2,iz=c₂.

⁽⁵⁾Poznámka
Hodnota součinitele κ₀ je v intervalu 0 do 1. Obvykle je požadavek κ₀=1. Požadavek κ₀<1 je v případě, že se nezapočítávají ztráty mezi místem měření rychlosti c₀ (například konec předchozího stupně) a začátkem lopatkové mříže. Hodnota součinitele κ₀ tedy záleží na stanovení hranice stupně [1, s 182]. Například stupeň větrné turbíny přesněji jeho hranici může konstruktér definovat těsně před rotorem a ztráty vznikající vířením mezi vstupem do proudové trubice a vlastním rotorem eliminovat tím, že κ₀<1.

⁽⁶⁾Poznámka
Hodnota součinitele κ₂ je v intervalu 0 do 1. V případě vícestupňových lopatkových strojů je κ₂=1 (v těchto případech kinetická energie pracovní tekutiny na konci stupně není považována za ztrátu), přičemž pro poslední stupeň nebo jednostupňové stroje je požadavek κ₂=0.

U stupňů pracovních strojů se obvykle používá efektivní, respektive izoentropická učinnost stupně, které se vztahují ke statickému stavu pracovní tekutiny při izoentropickém ději:

Efektivní účinnost kompresorového/čerpadlového stupně a izoentropická účinnost stupně pracovního stroje.

9.356 Efektivní účinnost stupně pracovního stroje a izoentropická účinnost stupně pracovního stroje

η_ef [-] efektivní účinnost stupně (u kompresorových stupňů se místo výrazu obvodová používá výraz efektivní, do měrné obvodvé práce se nazapočítavájí ostátní ztráty); η_iz [-] izoentropická účinnost stupně; η_{iz, c} [-] izoentropická účinnost stupně vzhledem k celkovým stavům za stupněm (obvykle není problém dodržet rovnost c₂=c_{2, iz}, v tom případě η_{iz, c}=η_iz).

Izoentropický spád stupně parní turbíny je 21,3 kJ·kg^-1. Rychlost páry na výstupu ze stupně je stejná jako rychlost páry na vstupu do tohoto stupně. Vypočítané profilové ztráty stupně jsou 3,3970 kJ·kg^-1 (rotorová řada lopatek je geometrický stejná jako statorová řada lopatek). Vypočítaná vnitřní práce stupně je 16,0744 kJ·kg^-1. Vypočítejte obvodovou účinnost stupně a vnitřní účinnost stupně. Jedná se o první stupeň vícestupňové parní turbíny. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 923.
Úloha 1.923

● 5 ●

● 14. Vztah mezi obvodovou a vnitřní prací stupně lopatkového stroje ●

Účinnost skupiny stupňů

Výpočet účinností skupiny stupňů se vypočítá stejně jako jednoho stupně, s tím rozdílem, že se vychází ze stavů pracovní tekutiny před a za skupinou stupňů.

Typickou vlastností vnitřní účinnosti skupiny stupňů je, že je u turbín vyšší než průměrná vnitřní účinnost jednotlivých stupňů, u kompresorů je tomu naopak. Důvodem je teplo znovu využité u turbín, respektive přídavné ztráty u kompresorů:

10.116 Vícestupňová adiabatická expanze v turbíně

η_j [-] střední vnitřní účinnost jednotlivých stupňů; 1+f [-] součinitel zpětného využití ztrát (tzv. reheat factor, 1,02 až 1,04 podle [3]); Δ [J·kg^-1] teplo znovu využité turbíny; 1+f_∞ [-] reheat factor pro teoretický případ turbíny s nekonečně mnoha stupni; z [-] počet stupňů. Vnitřní účinnost stupňové části vícestupňových turbín například vícestupňových parních turbín η_i je vyšší, než je střední vnitřní účinnost jednotlivých stupňů η_j. Rovnice jsou odvozeny pro předpoklad, že všechny stupně zpracovávají stejný entalpický spád a pro adiabatickou expanzi. Pro lepší přehlednost není v obrázku zakreslena kinetická energie absolutní rychlosti c. Rovnice jsou odvozeny v Příloze 116.

Je tedy zřejmé, že část tepla ze ztrátových procesů v předchozím stupni se využije při expanzi v následujícím stupni. Teplo znovu využité se projeví i v rámci jednoho stupně, protože část ztrát statoru se využije v rotoru apod.

V případě vícestupňového turbokompresoru se výsledná komprese skládá z několika dílčích kompresí probíhajících jednotlivých stupních:

11.121 Vícestupňová adiabatická komprese v kompresoru

1+f [-] součinitel přídavných ztrát (preheat factor); Δ_j [-] přídavné ztráty jednoho stupně; 1+f_∞ [-] preheat factor pro teoretický případ turbokompresoru s nekonečně mnoha stupni. Vnitřní účinnost vícestupňového turbokompresoru je nižší, než je střední vnitřní účinnost jednotlivých stupňů. Rovnice jsou odvozeny pro předpoklad, že všechny stupně zpracovávají stejný entalpický spád a komprese je adiabatická. Pro přehlednost není v obrázku zakreslena kinetická energie absolutní rychlosti. Rovnice jsou odvozeny v Příloze 121.

● 6 ●

● 14. Vztah mezi obvodovou a vnitřní prací stupně lopatkového stroje ●

Je tedy zřejmé, že vnitřní ztráty ve stupni kompresoru zhoršují účinnost v následujícím stupni. Zdůrazňuji, že součinitel přídavných ztrát 1+f lze definovat pouze při adiabatické kompresi v rámci vyšetřované skupiny stupňů. Přídavné ztráty se projeví i v rámci jednoho stupně, protože ztráty rotoru zvyšují i ztráty statoru apod.

Turbokompresor nasává vzduch o teplotě 15 °C a tlaku 0,1013 MPa, na výstupu z turbokomresoru má vzduch teplotu 293 °C a tlak 0,802 MPa. Určete práci a_i, a_iz, vnitřní účinnost η_i a přídavné ztráty. Turbokompresor má 12 pracovních stupňů. Komprese je nechlazená, respketive uvažujte adiabatickou kompresi. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 122.
Úloha 2.122
Úloha je převzata z [4].

Odkazy

1. KADRNOŽKA, Jaroslav. Tepelné turbíny a turbokompresory I, 2004. 1. vydání. Brno: Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., ISBN 80-7204-346-3.

Bibliografická citace článku

ŠKORPÍK, Jiří. Vztah mezi obvodovou a vnitřní prací stupně lopatkového stroje, Transformační technologie, 2009-10, [last updated 2018-02-26]. Brno: Jiří Škorpík, [on-line] pokračující zdroj, ISSN 1804-8293. Dostupné z https://www.transformacni-technologie.cz/14.html. English version: Relation between shaft work and internal work of turbomachine stage. Web: https://www.transformacni-technologie.cz/en_14.html.

● 7 ●

VZTAH MEZI OBVODOVOU A VNITŘNÍ PRACÍ STUPNĚ LOPATKOVÉHO STROJE

Úvod

Ventilační ztráta

i-s diagram stupně s přihlédnutím k ventilační ztrátě

Celková energetická bilance stupně

Účinnosti stupně

Účinnost skupiny stupňů

Odkazy

Bibliografická citace článku