VZNIK TLAKOVÉ ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ TEKUTINY A JEJÍ VÝPOČET

Popis vzniku tlakové ztráty a základních pojmů

Při proudění tekutin vzniká tření o povrch průtočného kanálu a obtékaných těles i tření uvnitř tekutiny (tzv. vnitřní tření). Třením ztrá­cí tekutina kinetickou energii a aby protekla kanálem požadovanou rychlostí (průtokem), musí nabývat kinetickou energii na úkor tlakové energie – vzniká tlaková ztráta L_p, případně na úkor jiné energie, například potenciální energie apod.

Tření tekutiny v potrubí a jeho důsledky

Na Obrázku 833 je nejjednodušší případ vzniku tlakové ztráty při proudění nestlačitelné tekutiny v potrubí s konstantním průřezem. Protože na vstupu i výstupu z kanálu musí být stejný průtok, tedy i rychlost, bez změny potenciální energie, je tlaková ztráta L_p rovna rozdílu statických tlaků mezi vstupem a výstupem, viz Rovnice 833a.

– 833: –

A [m²] průtočný průřez; F [N] třecí síla působící mezi stěnou potrubí a tekutinou; l [m] vyšetřovaná délka potrubí; L_p [Pa] tlaková ztráta na vyšetřované délce potrubí (pressure losses); L_q [J·kg^-1] ztrátové teplo způsobené vnitřním třením tekutiny; p [Pa] tlak; ρ [kg·m^-3] hustota pracovní tekutiny. Index _i označuje vstup, index _e výstup. Odvození rovnic je provedeno v Příloze 833.

Ztrátové teplo

Ztrátové teplo L_q, které vzniká při tření zahřívá pracovní tekutinu. Ztrátové teplo pro případ Obrázku 833 odpovídá tlakové energii tlakové ztráty, viz Rovnice 833b.

Třecí síla

Tekutina působí třecí silou F na kanál ve směru proudění. Třecí sílu pro případ Obrázku 833 lze vypočítat z rozdílu tlaku mezi vtokem a výtokem kanálu (tlakové ztrátě) a průtočné plochy kanálu, viz Rovnice 833c.

Kritéria pro výpočet tlakové ztráty

Velikost tlakové ztráty je funkcí vlastností pracovní tekutiny, tvaru kanálu, kterým protéká a drsnosti ploch tohoto kanálu. Přičemž postup výpočtu tlakové ztráty ve vyšetřovaném kanále se odvíjí podle toho, jestli je v kanále laminární a nebo turbulentní proudění. To lze zjistit z ho­dnoty Reynoldsova čísla pro daný případ, pro jehož výpočet je nutné znát střední rychlost tekutiny, charakteristický rozměr kanálu (v případě potrubí se jedná o průměr) a hodnotu kinematické viskozity. Jestliže je hodnota Reynoldsova čísla menší než je hodnota kritického Reynoldosova čísla, pak bude proudění spíše laminární, jestliže je hodnota Reynoldsova čísla větší než je hodnota horního kritického Reynoldosova čísla, pak bude proudění pravděpodobně turbulentní.

Paradox plynovodu s vyšším tlakem

Z Darcy-Weisbachovy rovnice plyne, že pro minimální tlakovou ztrátu je výhodné přepravovat plyn při vyšších tlacích a hustotách než při nízkých tlacích a vysokých rychlostech. Proto jsou tlaky v tranzitních plynovodech kolem 7 MPa a tlak plynu se snižuje před spotřebiči (viz Tabulka 1142), které jsou kvůli bezpečnosti konstruovány na nižší tlaky.

-------------------------  ------------------------
Tranzitní plynovod....7,5  Nízkotlaký              
Vysokotlaký.............4  (domácnosti).......0,002
Středotlaký.......0,1–0,3                          
---------------------------------------------------

Ztrátový součinitel jako dopočitatelná i experimentální veličina

Z Darcy-Weisbachovy rovnice tedy plyne, že tlaková ztráta je určitým podílem z dynamického tlaku, tento podíl se nazývá ztrátový součinitel. Pro kanály stálého průřezu, respektive potrubí, lze ztrátový součinitel docela dobře vypočítat podle rovnic uvedených v kapitole Výpočet ztrátového součinitele potrubí. Pro jiné typy kanálů, například kolena, ventily apod. se používají výsledky z měření, viz kapitola Tlaková ztráta v místních odporech.

Výpočet ztrátového součinitele potrubí

Ztrátový součinitel potrubí neměnného průřezu lze vypočítat podle Rovnice 855. Je tedy funkcí délky a průměru potrubí (za d se dosazuje charakteristický rozměr, jestliže je potrubí nekruhového průřezu) a veličiny zvané součinitel tření.

– 855: –

d [m] vnitřní průměr potrubí; l [m] délka potrubí; λ [1] součinitel tření v potrubí na vyšetřovaném úseku potrubí.

Součinitel tření pro čtyři možné případy proudění potrubím podle Nikuradseho diagramu

Rovnici součinitele tření v potrubí při laminárním proudění λ_LF lze snadno odvodit z Navier-Stokesových rovnic, viz Rovnice 658 (s. 6). Při určování hodnoty součinitele tření při turbulentním proudění se vychází ze závěru měření na sérii skleněných potrubí s uměle vytvořenou drsností pomocí pískového filmu, které provedl Johann Nikuradse. Nikuradse měřil tlakovou ztrátu několika potrubí s různými relativními drsnostmi povrchu pro vybraná Reynoldsova čísla a odtud vypočítal hodnoty součinitele tření λ podle Darcy-Weisbachovy rovnice (Rovnice 657 (s. 4)). Z těchto hodnot vytvořil diagram závislosti součinitele tření na Reynoldsově čísle a potvrdil existenci čtyř oblastí s různými závislostmi součinitele tření na Reynoldsově čísle, viz Obrázek 658 (s. 6).

Ocelové korodované         Ocelové svařované       
vyčištěné........0,15–0,2  podélným švem...0,05–0,1
Litinové...........0,26–1                          
---------------------------------------------------

Colebrookova rovnice pro součinitel tření v potrubí při turbulentním proudění

Pro oblast turbulentního proudění (regiony (C) a (D) na Obrázku 658 (s. 6)) existuje jedna univerzální rovnice s dostatečnou přesností pro běžnou technickou praxi. Takovou rovnici sestavil Cyril Colebrook (1910-1997), viz Rovnice 164 na základě aproximací skutečně naměřených hodnot v Nikuradseho diagramu doplněného o další měření, která byla provedena. Americký inženýr Lewis Moody (1880-1954) pak vytvořil pomocí Colerbrookovy rovnice diagram vypočítaných hodnot součinitele tření, který se dnes označuje jako Moodyho diagram (nomogram). Moodyho diagram je široce publikován on-line i knižně, například [Moody, 1944]. Nicméně používají si i jiné empirické rovnice.

– 164: –

Mezní Reynoldsovo číslo

V oblasti (C) probíhá vývoj turbulentního rychlostního profilu. V oblasti (D) je již vývoj dokončen a i při zvyšující se hodnotě Reynoldsova čísla se podíl kinetické energie tekutiny v mezní vrstvě ku kinetické energie v jádru proudu nemění. Hodnoty mezních Reynoldsových čísel Re_RP, tedy přibližnou hranici mezi oblastmi (C) a (D) lze vypočítat dosazením rovnice pro λ_RP do Colebrookovy rovnice. Vybrané hodnoty takto vypočítaných mezních Reynoldsových čísel jsou uvedeny v Tabulce 180.

---------------------------------------------------
C    1·10-6   1·10-5   1·10-4   0,001    0,01      
ReRP 2,62·109 2,22·108 1,82·107 1,42·106 2,28·105  
---------------------------------------------------
C    0,01     0,04     0,05                        
ReRP 1,02·105 1,95·104 1,48·104                    
---------------------------------------------------

Tlaková ztráta v místních odporech

Potrubní trasa (potrubní síť) nebývá přímočará a může být tvořena dal­šími potrubními prvky (odbočky různých tvarů, oblouky, zúžení),  armaturami, filtry, měřidly a dalšími průtočnými částmi,  viz Obrázek 1195. Tyto prvky jsou místními odpory a vzniká v nich místní tlaková ztráta.

– 1195: –

Příklad potrubní trasy s vyznačením místních od­po­rů

a-šoupátko; b-uzavírací ventil (obecně má     vyšší tlakovou ztrátu než šoupátko); c-odbočka   (T-kus); d-plynulé zúžení; e-oblouk (koleno).

Škrcení v místním odporu

Tlakové ztráty v místních odporech bývají mnohem intenzivnější než v rovném úseku potrubí vzhledem k tomu, že při průtoku těmito částmi dochází i ke změně tvaru průtočného kanálu, směru proudění a často i ke škrcení tekutiny. Za speciální případ místního odporu, lze považovat i vtoky a výtoky z trubky. Na okrajích je totiž proudění většinou neustálené a ovlivněné tvarem začátku či konce potrubí.

Výpočet místní tlakové ztráty v místním odporu

Tlakovou ztrátu místního odporu lze vypočítat také podle Rovnice 657 (s. 4), přičemž za střední rychlost se dosazuje střední rychlost proudu před prvkem.

Určení hodnoty ztrátového součinitele místního odporu

Ztrátový součinitel ζ některých typů místních odporů lze i vypočítat, častěji se ale vychází z měření daného místního odporu pro různá Reynoldsova čísla. Nicméně u některých typů místních odporů není vliv Reynoldsova čísla významný a lze použít tabelizované hodnoty, především pro armatury a potrubní tvarovky např. v [Stephan et al., 2010, s. 1065]. Příslušný ztrátový součinitel poskytuje výrobce daného potrubního prvku.

-------------------------  ------------------------
NÁROŽNÍ VENTILY                                    
obyčejné..............145  s vedením vřetena i v   
                           průtočné části...... 200
-------------------------  ------------------------
ŠOUPÁTKA                                           
obyčejné (dvě sedla)...13  pro plynovody..........3
pro velmi vazké kapaliny                           
(jedno sedlo)..........17                          
-------------------------  ------------------------
ZPĚTNÉ VENTILY                                     
se zpětnou klapkou.....35  s kuličkou...........150
s plně otvíratelnou        se sacím košem          
klapkou................50  deskový..............420
přímé.................340  se sacím košem s        
nárožní...............145  klapkou...............75
uzavírací klapky.......20                          
-------------------------  ------------------------
KOHOUTY                                            
obyčejné...............18  třícestné............140
-------------------------  ------------------------
POTRUBNÍ TVAROVKY                                  
90° koleno.............30  rohové koleno (bez      
45° koleno.............16  radiusu)..............57
180° koleno (malé).....50  90° koleno (velký       
tvarovka T.............20  rádius)...............20
90° koleno s hrdlem (k     tvarovka T (většina     
pájení nebo šroubení)..50  průtoku odbočuje do     
45° koleno s hrdlem        větve)................60
(k pájení nebo                                     
šroubení)..............26                          
-------------------------  ------------------------
PRŮTOKOMĚRY                                        
turbínový.............150  clonkový.............200
pístový (objemový)....400                          
---------------------------------------------------

Hospodárná rychlost proudění

Z Darcyho-Weisbachovy rovnice vyplývá, že vyšší střední rychlost způsobuje vyšší tlakovou ztrátu. S rostoucí tlakovou ztrátou stoupá cena pracovního stroje (čerpadla, ventilátoru...) a provozní náklady. Větší průměr potrubí snižuje rychlost proudění, ale zvyšuje náklady na pořízení potrubních tras a armatur. Hodnoty hospodárných rychlostí pro různé látky lze nalézt v [Stephan et al., 2010, p. 1063], v Tabulce 1197 (s. 12) je výběr. Existují však i jiné důvody pro nižší/vyšší rychlosti než je hospodárnost, např. dispoziční důvody apod.

V‾ [m·s^-1], ρ [kg·m^-3], m [kg·s^-1] hmotnostní tok; m_m [kg·min^-1], m_h [kg·h^-1], Q [m³·s^-1] objemový tok; Q_m [m³·min^-1], Q_h [m³·h^-1] objemový tok potrubím, d [mm] průměr potrubí.

Charakteristika potrubního systému

Závislost tlakové ztráty potrubní trasy na objemovém průtoku se nazývá charakteristika potrubního systému. Z rovnice pro výpočet tlakové ztráty je zřejmé, že při ρ=konst. bude tlaková ztráta kvadratickou funkcí s parametrem C_S zvaným konstanta potrubního systému (jiný název měrný hydraulický odpor potrubní trasy), viz Rovnice 662.

– 662: –

n [-] počet jednotlivých úseků potrubí (každý úsek má po celé délce konstantní průměr); k [-] počet místních odporů; L_pipe [Pa] tlaková ztráta při proudění daným úsekem potrubního systému; L_component [Pa] tlaková ztráta místního odporu; C_S [kg·m^-7] konstanta potrubního systému; Q [m³·s^-1] objemový průtok. L_p,n [Pa] tlaková ztráta při jmenovitém průtoku Q_n systémem. Rovnice platí i pro potrubí nekruhového průřezu.

Konstanta potrubního systému jako funkce otevření ventilů

Konstanta potrubního systému C_S se většinou uvažuje jako konstanta pro dané otevření jednotlivých armatur, ale protože součinitel tření λ je funkcí Reynoldsova čísla, musí se s průtokem měnit i C_S. Tato změna není ovšem příliš velká pokud nás zajímá tlaková ztráta v oblasti jmenovitého průtoku. Konstanta potrubního systému C_S se také mění otevíraním/zavíráním ventilů (změna jejich tlakové ztráty), proto se někdy uvádí několik křivek charakteristik potrubního systému pro jednotlivé polohy vřeten ventilů.

L_p [Pa], Q [m³·s^-1].

Změna tlakové ztráty při znečištění a korozi potrubí

Znečišťování a koroze potrubí a výměníků obvykle postupně způsobuje takové problémy, že je nutné je vyčistit (zvýšení tlaku v potrubním systému a vznik netěsností, zvýšení čerpací práce apod.).

  ~  

Znečištění potrubí snižuje jeho průtočný průřez

Ke znečištění potrubí může dojít, jestliže kapalina není čistá. Na Obrázku 154 je uvedena změna tlakové ztráty v potrubí při rovnoměrném nánosu v potrubí – o stejná procenta zvýšení tlakové ztráty se přibližně zvýší i čerpací práce. Závislost na tomto obrázku byla vytvořena dosazením Darcy-Weisbachovy rovnice do podílu tlakové ztráty L_p po zúžení průtočného průřezu a tlakové ztráty L_p,n. Odtud je patrné, že vliv zúžení na tlakovou ztrátu roste s pátou mocninou. Naproti tomu i při zachování absolutní drsnosti je vliv změny součinitele tření o několik řádů nižší.

– 154: –

Změna tlakové ztráty potrubí při znečištění

Fannovy křivky pro kanál konstaního průřezu

Při adiabatickém proudění plynu se plyn zahřívá v důsledku tření, což způsobuje zvětšování jeho měrného objemu a tedy i rychlosti v kanálu konstantní průtočné plochy. To znamená, že postupně v plynu klesá tlak a měrná entalpie. Zakreslení stavů plynu v jednotlivých bodech osy kanálu v h-s diagramu označujeme jako Fannovu křivku (Fanno line). Na Obrázku 1059 jsou tři Fannovy křivky pro kanál délky l a různé velikosti součinitele tření λ (stejný vliv jako změny součinitele tření má na změnu tlaku i prodlužování kanálu). Při maximálním součiniteli tření λ₁ nedosáhne proudění na výstupu z kanálu kritické rychlosti, λ₂ je takový, aby proudění na výstupu dosáhlo právě kritické rychlosti. Součinitel λ₃ je menší jak λ₂ a přesto proudění dosáhne na výstupu také jen kritické rychlosti.

– 1059: –

h [J·kg^-1] entalpie; s [J·kg^-1·K^-1] entropie; h_s [J·kg^-1] celková entalpie plynu; h* [J·kg^-1] kritická entalpie; p_sur [Pa] tlak okolí na výstupu z kanálu (surrounding). Index _i označuje počáteční stav plynu, index _e konečný stav plynu (na konci úseku/sledovaného děje). Dolní index _s označuje celkový stav plynu.

Uplatnění Fannových křivek

V technické praxi je uvedená teorie uplatnitelná zejména při vyšetřovaní proudění v bezdotykových ucpávkách. Na vysoké tlakové ztrátě spojené s prouděním plynu ve velmi malé mezeře je také založen princip suchoběžných plynových ucpávek. Nicméně i labyrintové ucpávky lze připodobnit k hladké ucpávce s konstantním průtočným průřezem a s konkrétním součinitelem tření.