Základní rovnice lopatkových strojů

Škorpík, Jiří

Kapitola: Rovnice pro výpočet sil působící na plochy stroje od proudu tekutiny

2.3

Rovnice pro výpočet sil působící na plochy stroje od proudu tekutiny

Síly působící od proudu tekutiny na plochy stroje lze určit z věty o změně hybnosti. Její speciální tvar se používá i k výpočtu sil působící na lopatky v lopatkové mříži od proudu tekutiny, což je klasická úloha v lopatkových strojích.

Věta o změně hybnosti

Kontrolní objem

Tlakové síly

Hmotnostní síly

Síly od těles

Síly působící od proudu tekutiny na plochy stroje lze určit z věty o změně hybnosti (druhý Newtonův zákon). Podle věty o změně hybnosti je změna hybnosti tekutiny v čase rovna součtu vnějších sil působící na tekutinu v kontrolním objemu. V případě aplikace tohoto zákona na tekutinu uzavřené v kontrolním objemu V_C (Obrázek 1) připadají v úvahu jako síly vnější: tlakové síly od okolní tekutiny na hranicích kontrolního objemu F_p, tíha tekutiny v kontrolním objemu F_h, a síly působící od těles uvnitř a na hranicíh kontrolního objemu F_b. Změna hybnosti tekutiny uvnitř kontrolního objemu je také rovna rozdílu součinu rychlosti a hmotnostního toku mezi vstupem a výstupem z kontrolního objemu [Bathie, 1984], [Kadrnožka 2003].

1: Věta o změně hybnosti

V_C [m³] kontrolní objem; S_C [m²] plocha hranice kontrolního objemu; V [m·s^-1] rychlost pracovní tekutiny; M [N·s] hybnost tekutiny uvnitř kontrolního objemu; t [s] čas; F_b [N] výslednice sil působící na pracovní tekutinu od těles uvnitř a na hranici kontrolního objemu; F_h [N] tíha pracovní tekutinu uvnitř kontrolního objemu; F_p [N] síly od tlaku okolní tekutiny na povrchu kontrolního objemu; m^• [kg·s^-1] hmotnostní tok; g [m·s^-2] gravitační zrychlení; a_r [m·s^-2] odstředivé zrychlení; a_C [m·s^-2] Coriolisovo zrychlení; p [Pa] tlak; m [kg] hmotnost. Odvození rovnice za předpokladu ustáleného proudění tekutiny kontrolním objemem je uvedeno v Příloze 11.

Kapitola: Rovnice pro výpočet sil působící na plochy stroje od proudu tekutiny

2.4

Síla na lopatku

Kontrolní objem

Relativní rychlost

Rozteč lopatek

Rychlostní trojúhelník

Při výpočtu sil působící na lopatky lopatkového stroje jsou při defininování hranic kontrolního objemu cílem takové hranice, na kterých jsou známy hodnoty parametrů nutné pro výpočet pomocí věty o změně hybnosti. Proto je kontrolní objem na Obrázku 2 vymezen tak, aby procházel středem lopatkového kanálu, respektive hranice AD a BC byly od sebe vzdáleny o rozteč lopatek^1.. Hranice AD a BC jsou očekávané proudnice relativních rychlostí W rychlostního trojúhleníku^1. této lopatkové mříže. Lopatkové kanály jsou v jedné lopatkové mříži stejné, takže působení tlakových sil na hraních AB se vyruší s působením tlakových sil na hranicích DC. Na těchto hranicích se vyruší i hodnota integrace součinu absolutní rychlosti V a hmotnostního toku, viz Rovnice 2.

2: Síla působící na lopatku od proudu tekutiny

Rychlosti i síly jsou vektorové veličiny, ale šipka nad symboly rychlostí v rychlostním trojúhleníku se obvykle neuvádí. F [N] výslednice sil působící na lopatku; W [m·s^-1] relativní rychlost; U [m·s^-1] obvodová rychlost; m^• [kg·s^-1] množství pracovní tekutiny protékající kontrolním objemem; s [m] rozteč lopatkové mříže. Odvození rovnice za předpokladu ustáleného proudění tekutiny kontrolním objemem je uvedeno v Příloze 12.

Válcová soustava souřadnic

Radiální síla

Obvodová síla

Axiální síla

Axiální ložisko

Typické pro vyšetření sil ve stupni lopatkového stroje je použití válcové soustavy souřadnic. Síla F ve válcové soustavě souřadnic^1. má tři prostorové složky, a to složku v radiálním směru F_r, v obvodovém směru F_θ (tato síla vytváří kroutící moment) a v axiálním směru F_a (způsobuje namáhání rotoru v axiálním směru a zachycuje jí axiální ložisko) – zkráceně se označují tyto složky síly jako radiální, obvodová a axiální síla.

Střední aerodynamická rychlost

Síla působící na lopatku je přibližně kolmá na střední aerodynamickou rychlost v lopatkové mříži W_m, která je střední rychlostí relativních rychlostí na vstupu W₁ a výstupu W₂. Respektive lze dokázat (viz Rovnice 3), že výsledná síla působící na lopatku od proudu nestlačitelné tekutiny F je kolmá na střední aerodynamickou rychlost w_m při proudění beze ztrát.

Kapitola: Rovnice pro výpočet sil působící na plochy stroje od proudu tekutiny

2.5

3: Definice střední aerodynamické rychlosti v lopatkové mříži a její vztah k vektoru síly působící na elementární lopatku (délka lopatky dr)

W_m [m·s^-1] střední aerodynamická rychlost v lopatkové mříži; β_m [°] úhel střední aerodynamické rychlosti; ε [°] úhel výslednice sil. Tato rovnice je odvozena pro elementární délku lopatek Δr a axiální lopatkové mříže v Příloze 13 a její platnost je omezena pro nestlačitelné proudění beze ztrát (izoentropické – index _is).

Rovnice pro výpočet rozložení energie ve stupni lopatkového stroje

Meridiánový směr

Při návrhu rozložení energie, respektive její transformace ve stupni lopatkového stroje se vychází ze dvou směrů. Ve směru kolmém na meridánový směr^1. se navrhuje rozložení Eulerovy práce, což je lokální hodnota vnitřní práce. V meridiánovém směru rozhoduje o vlastnostech stupně návrh stupně reakce, který popisuje rozdělení energetických transformací mezi stator a rotor stupně.

Eulerova práce

Vnitřní práce stupně

Ztráty

Eulerova turbínová rovnice

Eulerova práce nebo obvodová práce je prací tekutiny předaná lopatkám v okolí vyšetřované proudnice, viz Obrázek 4(b). Rozdíl oproti vnitřní práci^1. stupně w_i je v tom, že vnitřní práce stupně je průměrná hodnota práce veškeré pracovní tekutiny, která protéká stupněm (včetně mezer) a lze ji určit z kompletní energetické bilance stupně, viz Obrázek 4(a). Takže část tekutiny vykoná větší Eulerovu práci než jiná, ale jejich průměr je w_i. U reálných stupňů je nevětší Eulerova práce v jádru proudu (na středním průměru lopatek), kde jsou nejmenší ztráty. Naopak u okrajů lopatek, respektive v blízkosti jejich pat a špic, je Eulerova práce nejmenší kvůli vysokým ztrátám třením a vnitřní netěsností. Eulerovu práci lze stanovit z rychlostních trojúhleníků na vyšetřované prouděnici, viz Rovnice 4(c) – Eulerova turbínová rovnice.

Kapitola: Rovnice pro výpočet rozložení energie ve stupni lopatkového stroje

2.6

4: Rozdíl mezi Eulerovou prací a vnitřní prací stupně

w_i [J·kg^-1] vnitřní práce stupně; w_E [J·kg^-1] Eulerova práce v okolí vyšetřované proudnice; q [J·kg^-1] sdílené teplo s okolím; ω [°] úhlová rychlost. BST-hranice stupně; S-statorová řada lopatek; R-rotorová řada lopatek, ψ-proudnice. Odvození Eulerovy turbínové rovnice pro předpoklad stacionárního proudění a bez vlivu tíhy je v Příloze 14 nebo [Ingram, 2009, s. 64].

Eulerova účinnost

Obvodová účinnost

Vnitřní účinnost

Podobným způsobem lze stanovit dvěma cestami účinnost stupně, buď k Eulerově práci (tzv. Eulerova účinnost, respektive obvodová účinnost) nebo vnitřní práci (tzv. vnitřní účinnost stupně), jako je provedeno v Úloze 4.

Stupeň reakce

Stator

Rotor

Hydraulický stroj

Stupeň reakce je definován jako poměr mezi změnou statické entalpie v rotorové řadě lopatek a změnou celkové entalpie stupně (Vzorec 5), či změnou statické entalpie stupně – zaleží na zvyklosti [Kadrnožka, 2004], [Japikse, 1997], [Bathie 1984], [Ingram, 2009]. Popisuje tedy rozložení energetické transformace mezi statorovou a rotorovou řadou lopatek stupně.

5: Definice stupně reakce

Kapitola: Rovnice pro výpočet rozložení energie ve stupni lopatkového stroje

2.7

(a) definice stupně reakce; (b) zjednodušený vzorec stupně reakce pro hydraulické stroje, kdy lze počítat s přibližnou rovností entalpie a tlakové energie (Δh≈Δp·ρ^-1). Δh_s [J·kg^-1] rozdíl mezi celkovou entalpií na vstupu do stupně a výstupu ze stupně; Δh_R [J·kg^-1] rozdíl mezi statickou entalpií na vstupu do rotorové řady lopatek a výstupu z rotorové řady lopatek; Δp_s [Pa] rozdíl mezi celkovým tlakem na vstupu do stupně a výstupu ze stupně; Δp_R [Pa] rozdíl mezi tlakem na vstupu do rotorové řady lopatek a výstupu z rotorové řady lopatek; ρ [kg·m^-3] hustota.

h-s diagram stupně

Stupeň reakce se stanovuje ke konkrétnímu proudovému vláknu (poloměru) podobně jako Eulerova práce. Pro výpočet stupně reakce je důležitá znalost konstrukce h-s diagramu, ze kterého lze určit rozdíly měrných entlapií Δh_s a Δh_R (viz Úloha 5, Úloha 6). h-s diagramy a popis jejich konstrukce jsou uvedy na Obrázku 6. V případě hydraulických strojů lze stanovit požadované rozdíly tlaků Δp_s a Δp_R i z Bernoulliho rovnice pro relativní proud, viz Úloha 7 a Úloha 6.

6: h-s diagramy stupňů lopatkových strojů

vlevo-turbínové stupně; vpravo-stupně pracovních strojů. Tyto h-s diagramy jsou zkonstruovány za předpokladu adiabatického proudění bez vlivu tíhy. 1s_w, 2s_w označují celkový stav vzhledem k relativnímu pohybu na vstupu, respektive výstupu rotoru. Podrobný popis konstrukce h-s diagramů je uveden v Příloze 15.

Střední poloměr

Absolutní rychlost

Relativní rychlost

Ztráty

Většina stupňů je navrhována s proměnným stupněm reakce po výšce lopatek, přitom častým požadavkem při konstrukci stupně je stupeň reakce na středním poloměru kolem 0,5 (u radiálních stupňů i něco vyšší kvůli rozdílu obvodových rychlostí na rotoru), protože při maximální Eulerovy práci jsou absolutní rychlosti ve statorových kanálech přibližně stejné jako relativní rychlosti v rotorových kanálech, a tedy i rozložení ztrát mezi stator a rotor je rovnoměrné, viz Obrázek 7.

Kapitola: Rovnice pro výpočet rozložení energie ve stupni lopatkového stroje

2.8

7: Příklad lopatkových kanálů axiálního stupně turbíny se stupněm reakce 0,5

Při stejných rozdílech entalpií mezi statorem a rotorem jsou rychlostní trojúhleníky symetrické a i tvar lopatkových kanálů (A₁≠A₂). 1s_w relativní celkový stav pracovní tekutiny na vstupu do rotoru.

Lavalova turbína

Peltonova turbína

Rovnotlakový stupeň (Akční stupeň)

Přetlakový stupeň (Reakční stupeň)

Nulový nebo jen velmi malý stupeň reakce mají Lavalovy turbíny^1. a Peltonovy turbíny. Z pracovních strojů se používají nízké stupně reakce u některých typů ventilátorů. Při malém stupni reakce je tlaková síla působící na rotor také malá a proto se tyto stupně označují jako rovnotlakové nebo akční. Naopak na rotory stupňů s významným stupně reakce působí i větší tlaková síla na rotor a proto se označují jako přetlakové nebo reakční.

Axiální stupeň

Odtržení proudění

U axiálních stupňů se zvyšujícím stupněm reakce klesá prohnutí lopatek (klesá potřebná změna hybnosti) a tedy i jejich citlivost na odtržení proudu od profilu.

Rovnice pro výpočet rozložení rychlosti při ideálním proudění v lopatkovém stroji

Základní návrh

Rovnice ideálního proudění jsou odvozeny pro proudění ideálních tekutin bez vnitřních ztrát. I když se jedná o rovnice ideálního proudění, tak jsou klíčové pro základní návrh průtočných částí lopatkových strojů, predikci vlastností, analýzu vlivu tvaru průtočných částí na vnitřní ztráty stroje, pochopení příčin hávarií nebo problémového chodu lopatkových strojů.

Potenciální proudění

Základními rovnicemi popisující rychlosti ideálního proudění jsou rovnice potenciálního proudění. Proudění je považováno za potenciální (znamená to, že rychlost lze vypočítat pouze pomocí souřadnic bodu podle potenciální funkce V=f(x, y, z) v případě pravoúhlé soustavy souřadnic, nebo podle funkce V=f(r, θ, a) v případě válcové soustavy souřadnic, kdy takové proudění označujeme jako osově symetrické potenciální proudění. Další veličiny ideálního proudění lze vypočítat z energetických rovnic a Eulerovy rovnice hydrodynamiky.

Kapitola: Rovnice pro výpočet rozložení rychlosti při ideálním proudění v lopatkovém stroji

2.9

Rovnice osově symetrického potenciálního proudění

Pokud má být proudění potenciální, pak musí být rotor vektoru rychlosti v celém vyšetřovaném objemu roven nule, Rovnice 8(a). Aby proudění bylo považováno za osově symetrické, tak musí mít gradienty složek rychlosti v obvodovém směru ve valcové soustavě souřadnic rovny nule, viz Rovnice 8(b), protože obvodové souřadnice jsou uzavřené a rychlost v počátku osy obvodového směru musí být totožná s tou na konci souřadnic – jedná se o stejný bod, současně je tato rychlost nezávislá na stanovení počátku osy obvodového směru. Z těchto podmínek lze odvodit speciální Rovnice 8(c-h) pro rychlost, ale uvedené podmínky lze aplikovat i na další veličiny pracovní tekutiny.

8: Podmínky osově symetrického potenciálního proudění

θ [°] úhel průvodiče ve válcové soustavě souřadnic; C [m²·s^-1] konstanta (například navrhovaná velikost součinu obvodové složky absolutní rychlosti V_θ na středním poloměru). Úprava rovnic je uvedena v Příloze 16.

Cirkulace rychlosti

Eulerova práce

Součin r·V_θ se nazývá cirkulace obvodové složky rychlosti, která je konstatní, takže má stejné vlastnosti jako potenciální vír [Škorpík, 2023, s. 1.40]. Jestliže je cirkulace konstantní, pak i rozdíl cirkulací před a za rotorem je konstantní a pak i podle rovnice Eulerovy práce (Rovnice 4) bude Eulerova práce potenciálního proudění konstantní po výšce lopatek, viz Úloha 8.

Spirální dráha

Rovnice osově symetrické potenciálního proudění lze aplikovat i na spirální dráhy, například ve spirálních kanálech (Úloha 9) nebo v bezlopatkových difuzorech a konfuzorech (Úloha 10).

Eulerova rovnice hydrodynamiky

Gradinet tlaku

Při výpočtu další stavových veličin lze použít velmi efiktivně i Eulerovu rovnici hydrodynamiky pro potenciální proudění, například článek Vnitřní tření tekutiny a vývoj mezní vrstvy [Škorpík, 2023b]. Z této rovnice lze mimo jiné vyčíst, že gradient tlaku potenciálního proudění bez vliv gravitačního zrychlení nemůže mít obvodovou složku, protože ji nemá ani gradient rychlosti, respektive kinetické energie, viz Úloha 8.

Kapitola: Úlohy

2.10

Úlohy

Úloha 1:

Potrubí

Jakou silou je namáháno potrubí mezi přírubami od proudu kapaliny (viz obrázek)? Vnitřní průměr potrubí je 23 mm, výškový rozdíl mezi dolní a horní přírubou je 1,2 m, rozdíl statického tlaku v potrubí a venkovního (atmosférického tlaku) je 2 m vodního sloupce, rychlost proudění je 4 m·s^-1, v potrubí proudí voda. Uvažujete proudění beze tření. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 1.

d [m] průměr potrubí; p_at [Pa] atmosférický tlak; z [m] výšková souřadnice.

zadání:

d; z; z_H2O; V

výpočet:

F_h,x; A; m; p₁; p₂; F_p,x; F_x

odvození:

rovnic pro F_x; F_y; F_z

výpočet:

V_C; m; F_h,z; F_pz; F_z

odečet:

ρ; g; p_at

výpočet:

F_y

Postup řešení Úlohy 1, popisek symbolů je v Příloze 1.

Úloha 2:

Síla na lopatku

Radiální ventilátor

Stanovte sílu a její složky od proudu tekutiny působící na lopatku radiálního ventilátoru. Ventilátorem protéká 88,8 kg·h^-1 vzduchu, tlak p₁ před oběžným kolem je atmosférický, rozdíl tlaků mezi vstupem a výstupem oběžného kola je nevýznamný a počet lopatek oběžného kola je 52. Další parametry jsou: r₁=32,5 mm, r₂=37,5 mm, V₁=3,4 m·s^-1, V₂=9,34 m·s^-1, α₂=18,4°. Šířka kola je 30 mm. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 2.

Rychlostní trojúhleník nízkotlakého radiálního ventilátoru

r [m] poloměr; α [°] úhel absolutní rychlosti.

Kapitola: Úlohy

2.11

zadání:

m; p₁; z; r₁; r₂; V1; V₂; α₂; b

výpočet:

V_2r; F_r,p; F_r

výpočet:

V_2θ; F_θ

výpočet:

Postup řešení Úlohy 2, popisek symbolů je v Příloze 2.

Úloha 3:

Síla na lopatku

Kaplanova turbína

Vypočítejte sílu působící na lopatky rotoru Kaplanovy turbíny od proudu vody a tlak za rotorem p₂. Poloměr rotoru u špic lopatek je 1850 mm, u pat lopatek 985 mm, obvodová složka absolutní rychlosti na středním kvadratickém poloměru lopatek je 15,3 m·s^-1, axiální rychlost 13 m·s^-1, otáčky turbíny jsou 230,8 min^-1. Nad turbínou je 56 m sloupec vody. Tvary rychlostních trojúhleníků na středním poloměru jsou na přiloženém obrázku. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 3.

A [m²] průtočný průřez. Index _h označuje patu lopatky, index _m označuje střední kvadratický poloměr lopatky, index _t označuje špici lopatky.

zadání:

r_t; r_h; V_1θ; V_a; V₂; N; z

výpočet:

r_m; U; -W_2θ; W_1θ; W_mθ; W_m; β_m; ε; F_a; F

odečet:

p_at; g

výpočet:

A₁; A₂; Q; m; F_θ

výpočet:

V₁; p₁; p₂

Postup řešení Úlohy 3, popisek symbolů je v Příloze 3.

Úloha 4:

Eulerova práce

Vnitřní práce

Účinnost

1D návrh

Vypočítejte Eulerovu práci a Eulerovu účinnost na středním poloměru axiálního stupně parní turbíny a vnitřní práci a účinnost tohoto stupně. Stupeň byl navržen 1D návrhem^1. má tedy prizmatické lopatky. Meridánová rychlost je konstantní (V_0a=V_2a). Izoentropický spád stupně je 21,3 kJ·kg^-1. Vypočítané celkové ztráty stupně jsou 6 kJ·kg^-1. Parametry rychlostních trojúhleníků na středním poloměru: V₁=W₂=148,68 m·s^-1, V₀=V₂=W₁=63,249 m·s^-1, U₁=U₂=102,1 m·s^-1. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 4.

Kapitola: Úlohy

2.12

(a) řez stupněm; (b) průběh Eulerovy práce po výšce lopatek; (c) energetická bilance stupně v h-s diagramu. h [J·kg^-1] entalpie; s [J·kg^-1·K^-1] entropie; w_is [J·kg^-1] vnitřní práce stupně při izoentropické expanzi (expanze beze ztrát); w_E_is [J·kg^-1] Eulerova práce při proudění beze ztrát; L_w [J·kg^-1] vnitřní ztráty stupně. Index _s označuje celkový stav.

zadání:

Δh_is; L_w; V₁; W₂; V₀; V₂; W₁; U₁; U₂

výpočet:

w_i

výpočet:

w_E

výpočet:

w_is; η_E; η_i

Postup řešení Úlohy 4, popisek symbolů je v Příloze 4.

Úloha 5:

Stupeň reakce

Proveďte výpočet stupně reakce axiálního stupně parní turbíny. Znáte-li rychlostní trojúhelník. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 5.

Rychlostní trojúhleník parní turbíny v úloze

zadání:

V₁; V₂; W₁; W₂

výpočet:

w_E; Δh_s; R

výpočet:

Δh_R

Postup řešení Úlohy 5, popisek symbolů je v Příloze 5.

Úloha 6:

Stupeň reakce

Radiální ventilátor

Stanovte stupeň reakce radiálního ventilátoru s dopředu zahnutými lopatkami, jestliže zvýšení celkového tlaku ve ventilátoru je 135 Pa, hustota pracovního plynu je 1,2 kg·m^-3, obvodová rychlost na výstupu z rotoru je 10 m·s^-1 a obvodová rychlost na vstupu do rotoru 8,7 m·s^-1. Lopatkové kanály rotoru jsou navrženy pro rovnost relativních rychlostí (W₁=W₂). Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 6.

Kapitola: Úlohy

2.13

zadání:

Δp_s; ρ; U₂; U₁

výpočet:

Δh_R; R

výpočet:

Δh_s

Postup řešení Úlohy 6, popisek symbolů je v Příloze 6.

Úloha 7:

Stupeň reakce

Francisova turbína

Vypočítejte stupeň reakce Francisovy turbíny na jejím střední poloměru. Poloměr oběžného kola na vstupu je 1 m. Absolutní rychlost před oběžným kolem je 35 m·s^-1, za oběžným kolem 12 m·s^-1 (nemá obvodovou složku). Otáčky turbíny jsou 375 min^-1. Úhel absolutní rychlosti je 20°. Výškový rozdíl mezi vstupem a výstupem z oběžného kola je 0,8 m. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 7.

zadání:

r₁; V₁; V₂; N; α₁; Δz

odvození:

rovnice pro Δp_R

odvození:

rovnice pro Δp_s

odečet:

g; L_w,0-2; L_w,1-2

výpočet:

U₁; V_1θ; w_E

výpočet:

Postup řešení Úlohy 7, popisek symbolů je v Příloze 7.

Úloha 8:

Rychlostní trojúhelník

Stupeň reakce

Kaplanova turbína

Gradient tlaku

Zkroucená lopatka

Vypočítejte parametry rychlostního trojúhleníku, tlak a stupeň reakce u paty, středním kvadratickém poloměru a špici lopatky Kaplanovy turbíny. Požadovaná Eulerova práce je 548 J·kg^-1. Rozměry rotoru, otáčky, axiální rychlost na středním kvadratickém poloměru a tlak za rotorem jsou stejné jako v Úloze 3. Absolutní rychlost na výstupu z rotoru má pouze axiální směr. Stanovte také gradient tlaku před a za rotorem turbíny způsobený odstředivým zrychlením. Uvažujte potenciální proudění ideální kapaliny. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 8.

Průběhy stavových veličin a rychlostní trojúhleníky Kaplanovy turbíny

(a) očekávaný gradient tlaku před rotorem; (b) změny absolutních a relativních rychlostí na vyšetřovaných poloměrech; (c) vliv změny relativních rychlostí na tvar lopatkového kanálu, respektive zkroucení lopatky; (d) očekávaný průběh obvodové složky absolutní rychlosti před rotorem; (e) očekávaný průběh tlaku před rotorem; (f) očekávaný průběh stupně reakce po výšce lopatek. β [°] úhel relativní rychlosti.

Kapitola: Úlohy

2.14

zadání:

w_E; r_t; r_h; N; V_a; V₂; p₂; ρ

výpočet:

p_1h; p_1m; p_1t

výpočet:

r_m; U_h; U_m; U_t; V_1θh; V_1θm; V_1θt

výpočet:

Δp_s; Δp_Rh; Δp_Rm; Δp_Rt; R_h; R_m; R_t

výpočet:

V_1h; V_1m; V_1t; α_1h; α_1m; α_1t

odvození:

rovnice pro grad p₁

výpočet:

W_1θh; W_1θm; W_1θt; W_1h; W_1m; W_1t; β_1h; β_1m; β_1t

odvození:

rovnice pro Δp₁

výpočet:

W_2h; W_2m; W_2t; β_2h; β_2m; β2t

Postup řešení Úlohy 8, popisek symbolů je v Příloze 8.

Úloha 9:

Spirální hrdlo

Radiální ventilátor

Logaritmická spirála

Účelem spirálních hrdel radiálních strojů je odvod nebo přívod pracovní tekutiny od/k lopatkové části. Proudění v takovém hrdle má spirální dráhu. Na obrázku je řez radiálního ventilátoru s dozadu zahnutými lopatkami a spirálním hrdlem – navrhněte rozměry tohoto spirálního hrdla, jestliže mezi ním a rotorem je bezlopatkový difuzor. Stanovte tlak na výstupu z bezlopatkového difuzoru (mezi poloměry r₂ a r₃). Dokažte, že při proudění nestlačitelné tekutiny radiálním kanálem konstantní šířky b je spirální dráha logaritmickou spirálou. Diskutujte vliv vnitřního tření v tekutině na tvar spirální dráhy. Jaké je rozložení rychlosti a tlaku na výstupu ze spirálního hrdla? Uvažujte nestlačitelné potenciální proudění. Diskutujte vliv šířky hrdla na poloměr hrdla. Parametry ventilátoru jsou: R=0,65; r₃=215 mm; r₂=170 mm; r₁=118,5 mm; b₂=101,5 mm; b₁=120 mm; N=1360 min^-1. Zvýšení celkového tlaku ve ventilátoru je 500 Pa. Průtok vzduchu ventilátorem je 1200 m³·h^-1 a jeho celkový tlak na sání je atmosférický při hustotě 1,2 kg·m^-3. Řešení úlohy a další závěry jsou uvedeny v Příloze 9.

(a) rychlostní trojúhleníky; (b) průběh rychlosti na výstupu ze spirální skříně; (c) průběh tlaku na výstupu ze spirální skříně. Ψ-spírálová dráha absolutní rychlosti.

Kapitola: Úlohy

2.15

zadání:

R; r₃; r₂; r₁; b₂; b₁; Δp_s; N; Q; p_1s; ρ

výpočet:

p3s; V_3θ; V_3r; V₃; p₃

odvození:

rovnice pro r_θ

důkaz:

α=konst.

výpočet:

w_E; U₂; V_2θ; C

diskuze:

o vlivu tření

výpočet:

r_θ pro vybrané θ

diskuze:

rozložení rychlosti a tlaku na výstupu z hrdla

Postup řešení Úlohy 9, popisek symbolů je v Příloze 9.

Úloha 10:

Bezlopatkový difuzor

Radiální turbokompresor

Navrhněte výstupní poloměr bezlopatkového difuzoru radiálního turbokompresoru, který je nakreslený na obrázku. Parametry stupně jsou: V_2θ=300 m·s^-1, V_2r=90 m·s^-1, r₂=33 mm, p₂=200 kPa, t₂=82,9 °C. Zvýšení tlaku ve statoru je 80 kPa. Pracovním plynem je vzduch. Zjistěte také, zda se mění úhel mezi absolutní rychlostí v bezlopatkovém difuzoru a její obvodovou složku (mezi poloměry r₂ a r₃). Uvažujte stlačitelné potenciální proudění. Řešení úlohy je uvedeno v Příloze 10.

Proudění za rotorem radiálního stupně v bezlopatkovém difuzoru

(a) sestava rotoru-bezlopatkového difuzoru a sacího a výstupního hrdla; (b) řez bezlopatkovým difuzorem; (c) absolutní rychlost na vstupu a výstupu z bezlopatkového difuzoru.

zadání:

V_2θ; V_2r; r₂; p₂; Δp_S; t₂

řešení:

r₃ z m₂=m₃

odečet:

h₃; t₃ z h-s diagramu

výpočet:

α₂; α₃

výpočet:

V₃; ρ₃

porovnání:

α₂ vs α₃

Postup řešení Úlohy 10, popisek symbolů je v Příloze 10.

Odkazy

ŠKORPÍK, Jiří, 2013, Technická termomechanika, Transformační technologie, [last updated 2019-12-27] Brno, [online], ISSN 1804-8293. Dostupné z https://www.transformacni-technologie.cz/43.html.

ŠKORPÍK, Jiří, 2023, Technická matematika, Transformační technologie, Brno, [online], ISSN 1804-8293. Dostupné z https://engineering-sciences.education/technicka-matematika.html.

ŠKORPÍK, Jiří, 2023b, Vnitřní tření tekutiny a vývoj mezní vrstvy, Transformační technologie, Brno, [online], ISSN 1804-8293. Dostupné z https://fluid-dynamics.education/vnitrni-treni-tekutiny-a-vyvoj-mezni-vrstvy.html.

ŠKORPÍK, Jiří, 2023c, Proudění plynů a par tryskami, Transformační technologie, Brno, [online], ISSN 1804-8293. Dostupné z https://fluid-dynamics.education/proudeni-plynu-a-par-tryskami.html.

Kapitola: Odkazy

2.16

ŠKORPÍK, Jiří, 2023d, Proudění plynů a par difuzory, Transformační technologie, Brno, [online], ISSN 1804-8293. Dostupné z https://fluid-dynamics.education/proudeni-plynu-a-par-difuzory.html.

BATHIE, William, 1984, Fundamentals of gas turbines, John Wiley&Sons, Inc. New York, ISBN 0-471-86285-1.

INGRAM, Grant, 2009, Basic Concepts in Turbomachinery, Grant Ingram & Ventus Publishing Aps, ISBN 978-87-7681-435-9.

KADRNOŽKA, Jaroslav, 2004, Tepelné turbíny a turbokompresory, Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., Brno, ISBN 80–7204–346–3.

JAPIKSE, David, 1997, Introduction to turbomachinery, Oxford University Press, Oxford, ISBN 0–933283-10-5.

KADRNOŽKA, Jaroslav, 2003, Lopatkové stroje, Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., Brno, ISBN 80-7204-297-1.

ZÁKLADNÍ ROVNICE LOPATKOVÝCH STROJŮ

Rovnice pro výpočet sil působící na plochy stroje od proudu tekutiny

Věta o změně hybnosti

Kontrolní objem

Tlakové síly

Hmotnostní síly

Síly od těles

Síla na lopatku

Kontrolní objem

Relativní rychlost

Rozteč lopatek

Rychlostní trojúhelník

Válcová soustava souřadnic

Radiální síla

Obvodová síla

Axiální síla

Axiální ložisko

Střední aerodynamická rychlost

Rovnice pro výpočet rozložení energie ve stupni lopatkového stroje

Meridiánový směr

Eulerova práce

Vnitřní práce stupně

Ztráty

Eulerova turbínová rovnice

Eulerova účinnost

Obvodová účinnost

Vnitřní účinnost

Stupeň reakce

Stator

Rotor

Hydraulický stroj

h-s diagram stupně

Střední poloměr

Absolutní rychlost

Relativní rychlost

Ztráty

Lavalova turbína

Peltonova turbína

Rovnotlakový stupeň (Akční stupeň)

Přetlakový stupeň (Reakční stupeň)

Axiální stupeň

Odtržení proudění

Rovnice pro výpočet rozložení rychlosti při ideálním proudění v lopatkovém stroji

Základní návrh

Potenciální proudění

Rovnice osově symetrického potenciálního proudění

Cirkulace rychlosti

Eulerova práce

Spirální dráha

Eulerova rovnice hydrodynamiky

Gradinet tlaku

Úlohy

Potrubí

Síla na lopatku

Radiální ventilátor

Síla na lopatku

Kaplanova turbína

Eulerova práce

Vnitřní práce

Účinnost

1D návrh

Stupeň reakce

Stupeň reakce

Radiální ventilátor

Stupeň reakce

Francisova turbína

Rychlostní trojúhelník

Stupeň reakce

Kaplanova turbína

Gradient tlaku

Zkroucená lopatka

Spirální hrdlo

Radiální ventilátor

Logaritmická spirála

Bezlopatkový difuzor

Radiální turbokompresor

Odkazy